Máximos e Mínimos de uma função.
Considere uma função do 2º grau qualquer, do tipo f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0. Sabemos que seu gráfico é uma parábola e que a concavidade da parábola varia de acordo com o coeficiente a.
Se a < 0 → a concavidade da parábola é voltada para baixo;
Se a > 0 → a concavidade da parábola é voltada para cima;
Quanto ao discriminante Δ = b2 – 4ac, ele determina quantos pontos a parábola intercepta o eixo x. Ou seja,
Δ > 0 → a função tem duas raízes reais, logo intercepta o eixo x em dois pontos;
Δ < 0 → a função não possui raízes reais, logo não intercepta o eixo x;
Δ = 0 → a função possui apenas uma raiz real, logo intercepta o eixo x em apenas um ponto;
Cada paraábola possui um vertice V, e este vertice pode ser um ponto de mínimo absoluto ou de máximo absoluto, e o que determina um caso ou outro é a concavidade da parábola.
Se na função a<0, a concavidade é voltada para baixo, logo a função apresenta ponto de máximo absoluto.
Se na função a>0, a concavidade é voltada para cima, logo a função apresenta ponto de mínimo absoluto.
As coordenadas do vértice da parábola são dadas por:
Exemplo:
Uma empresa produz um determinado produto com o custo definido pela seguinte função C(x) = x² – 80x + 3000. Considerando o custo C em reais e x a quantidade de unidades produzidas, determine a quantidade de unidades para que o custo seja mínimo e o valor desse custo mínimo.
Resposta:
Na função, os coeficientes são: a = 1, b
= –80 e c = 3000
Quantidade de unidades vendidas para que
o custo seja mínimo será dada por Xv.
Valor do custo mínimo será dado por Yv.
Para que o custo seja mínimo, a empresa deverá produzir somente 40 unidades do produto.
O valor do custo mínimo é de R$
1 400,00
