FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU - PARTE II

Máximos e Mínimos de uma função.

Considere uma função do 2º grau qualquer, do tipo f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0. Sabemos que seu gráfico é uma parábola e que a concavidade da parábola varia de acordo com o coeficiente a. 

Se a < 0 → a concavidade da parábola é voltada para baixo; 
Se a > 0 → a concavidade da parábola é voltada para cima; 

Quanto ao discriminante  Δ = b² – 4ac, ele determina quantos pontos a parábola intercepta o eixo x. Ou seja, 
Δ > 0 → a função tem duas raízes reais, logo intercepta o eixo x em dois pontos; 
Δ < 0 → a função não possui raízes reais, logo não intercepta o eixo x; 
Δ = 0 → a função possui apenas uma raiz real, logo intercepta o eixo x em apenas um ponto; 

Cada paraábola possui um vertice V, e este vertice pode ser um ponto de mínimo absoluto ou de máximo absoluto, e o que determina um caso ou outro é a concavidade da parábola. 

Se na função a<0, a concavidade é  voltada para baixo, logo a função apresenta ponto de máximo absoluto. 

Se na função a>0, a concavidade é  voltada para cima, logo a função apresenta ponto de mínimo absoluto. 

As coordenadas do vértice da parábola são dadas por: 

Exemplo:
Uma empresa produz um determinado produto com o custo definido pela seguinte função C(x) = x² – 80x + 3000. Considerando o custo C em reais e x a quantidade de unidades produzidas, determine a quantidade de unidades para que o custo seja mínimo e o valor desse custo mínimo. 

Resposta:

Na função, os coeficientes são: a = 1, b = –80 e c = 3000

Quantidade de unidades vendidas para que o custo seja mínimo será dada por Xv.

Valor do custo mínimo será dado por Yv.

Para que o custo seja mínimo, a empresa deverá produzir somente 40 unidades do produto.

O valor do custo mínimo é de R$ 1 400,00

FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU - PARTE I

Toda função estabelecida pela lei de formação f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números reais e a ≠ 0, é denominada função do 2º grau. 

Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:

1. f(x) = 3x² - 4x  + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
2. f(x) = x² -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1

Também chamada de função quadrática, sua representação é uma parábola com concavidade voltada para cima se o coeficiente a, do termo x², for positivo e concavidade para baixo se o coeficiente a, do termo x², for negativo.

Zeros da Função. Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0. Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:

onde  é denominado discriminante de f(x). Com relação aos valores do discriminante, é apresentado na figura abaixo, os seguintes comportamentos da parábola.

FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU

Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a0.

 Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente angular de x e o número b é chamado termo constante.

 Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:

 f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

Gráfico

    O gráfico de uma função polinomial do 1º grau,  y = ax + b, com a0, é uma reta.  O comportamento da função é dado em função do sinal do coeficiente angular. Se a>0, a função é crescente, se a<0, a função é decrescente.

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FUNÇÃO

Dados dois conjuntos A e B, chamamos de função a toda relação ¦: A ® B na qual, para todo elemento de A, existe um único representante em B.

O conjunto A é chamado de domínio (D) e B de contradomínio (CD).

O conjunto formado pelos correspondentes de A em B é a imagem (Im). 

                                            Figura 1: Representação de Função 

       O gráfico de uma função pode ser representado no plano cartesiano.Para obtermos gráficos de funções definidas por leis Y = ¦ ( x ), procedemos da seguinte maneira: A cada par ( x, y ) associamos um ponto no plano cartesiano. O conjunto de todos os pontos assim representados será o gráfico de ¦ ( x ).

                                                         Figura 2: Plano Cartesiano